Né à Montréal, Richard Turp a grandi à Londres à partir de l’âge de six ans. Diplômé de London University (Russian Regional Studies and Music), il entreprend des études vocales avec son père, le célèbre ténor, André Turp. Pendant une décennie, il chante principalement en Europe (Angleterre, Italie, France, Belgique, Espagne, Suisse), mais retourne en 1983 dans son pays natal afin de chanter le rôle de Malcolm aux côtés de son père dans la production de Macbeth de Verdi pour L’Opéra de Montréal.
À la fin de 1988, il devient directeur artistique du Festival international de musique  de Montréal. En 1991, il est nommé directeur des événements spéciaux à L’Opéra de Montréal, un poste qu’il occupe pendant deux ans. Il agit comme directeur général par intérim à l’Orchestre de chambre McGill avant d’accepter, en 1997, la nomination de directeur artistique du Festival de musique de Lachine, une position qu’il occupe toujours. En 1998, il crée avec un collègue la Société musicale André-Turp. Il assume la direction artistique de cette prestigieuse société vocale pendant treize ans. Cofondateur de l’Institut canadien d’art vocal et du Centre lyrique d’expression française, il assume entre 2008 et 2014 la direction du programme d’art vocal au Centre d’arts d’Orford. Entre 2015 et 2017, il dirige le programme d’art vocal de l’Académie internationale du Domaine Forget. Depuis 2018 il dirige un nouveau et important stage d’été, l’Académie internationale vocale de Lachine  Il a siégé comme membre de nombreux conseils d’administration dont celui des Jeunesses musicales du Canada et du Conseil québécois de la musique et il siège présentement auprès du conseil d’administration du diffuseur Im Zentrum Lied et d’Opera Canada.
Il est invité à participer comme juge à de nombreux concours et compétitions dont le Concours musical international de Montréal, le Concours de musique du Canada, le Concours Standard Life de l’Orchestre symphonique de Montréal, le Brian Law Opera Scholarship Competition ainsi que le NATS (National Association of Teachers and Singers) Competition. Monsieur Turp est juge et consultant auprès de la Fondation Jacqueline Desmarais pour les jeunes chanteurs canadiens d’opéra et membres du jury de plusieurs comités d’évaluation au doctorat, notamment à McGill et à l’Université de Montréal.
Richard Turp s’est produit fréquemment sur les réseaux français et anglais de la SRC. À titre de directeur artistique, il a conçu le concert de clôture, intitulé Montréal en voix, de l’édition 2002 du Festival Montréal en Lumière qui a été télédiffusé sur les ondes de la CBC et la SRC ainsi qu’ARTV. Toujours à la télévision mais pour BRAVO, il a assuré la conception artistique et musicale et l’écriture de plusieurs séries dont Opera Easy, Opera Stories, Portraits of Mozart, Shakespeare in Music, Klassical Kabaret et Musical Voices.
À titre de conférencier, il travaille pour, entre autres, l’Opéra de Montréal, l’Orchestre de chambre McGill, l’Orchestre symphonique de Montréal, l’Institut d’études méditerranéennes de Montréal, l’Institut italien de culture, CAMMAC et The Wagner Society. Il a été maître de cérémonie des Rubies, le gala d’Opera Canada. Il écrit les notes de programmes pour des organismes musicaux et compagnies de disques et il collabore fréquemment avec plusieurs revues dont Opera Canada, Opera Now et Bachtrack. Il a remplacé le critique musical Arthur Kaptainis au quotidien The Gazette lors d’une année sabbatique de ce dernier.
Richard Turp a enseigné à McGill, l’UQAM, Université de Sherbrooke et l’Université de Montréal où il donne des cours sur le répertoire vocal. Il a présenté plusieurs séminaires, entre autres, au Conservatoire de Québec et aux universités d’Ottawa et Carleton. Richard Turp s’est vu invité par de prestigieuses institutions tels l’Atelier lyrique de l’Opéra de Montréal et le Royal Academy of Music (Londres ) afin d’y enseigner ainsi que d’y présenter des classes de maîtres.